第二十五章“概率初步”简介

课程教材研究所 林立军

从《数学标准》看,本章属于“统计与概率”领域,对于该领域的内容,本套教科书共安排了四章,这四章采用统计和概率分开编排的方式,前三章是统计,最后一章是概率。一方面,概率与统计相对独立,另一方面概率又以统计为依托。本章概率知识的学习要以前三章的统计部分的知识为基础。

本章教学时间约需14课时,具体分配如下(仅供参考):

25.1  概 率             约4课时

25.2  用列举法求概率        约4课时

25.3  利用频率估计概率       约2课时

25.4  课题学习           约2课时

数学活动

小结                 约2课时

一、教科书内容和课程学习目标

(一)本章知识结构框图

(二)教科书内容

本章的主要内容是随机事件的定义,概率的定义,计算简单事件概率的方法,主要是列举法(包括列表法和画数行图法),利用频率估计概率。中心内容是体会随机观念和概率思想。

全章共包括3节:

25.1  概 率

学生在前两个学段已经接触到了一些与可能性有关的初步知识,在本节将学习更加数学化和抽象化地描述可能性的知识──概率。

在25.1.1节中,教科书通过设置的问题1的抽签问题和问题2的掷骰子问题,让学生来感受到,在一定条件下重复进行实验时,有些事件是必然发生的,有些事件是不可能发生的,有些事件是有可能发生也有可能不发的。教科书为了避免出现太多的概念,所以没有给出必然事件和不可能事件的概念,只给出了随机事件的概念。在学习了问题1和问题2后,学生就能够判断一个事件是必然会发生的事件、不可能发生的事件还是随机事件。问题3是一个摸球问题,通过这个问题要使学生在前两个学段知识的基础上进一步认识随机事件发生的可能性,即:一般地,随机事件发生的可能性有大有小,不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同。通过问题3的学习,使学生能够初步判断几个事件发生的可能性的相对大小。

在学习了25.1.1节的随机事件以及随机发生的可能性大小的基础上,25.1.2节给出了对事件发生可能性的更加抽象和更加数学化的描述──概率。教科书设置了一个投币实验,一方面让学生亲自动手实验获得数据,另一方面还给出投币实验的历史数据,为学生发现规律提供帮助。通过学生的亲手实验和历史数据,学生能够用自己在“统计”中学过的频率知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率的大小。可以发现,在重复投掷一枚硬币时,“正面向上”的频率在0.5的左右摆动,随着投掷次数的增加,一般地,频率会呈现出一定的稳定性:在0.5的左右摆动的幅度会越来越小。由于“正面向上”的频率呈现出上述的稳定性,我们就用0.5这个常数来表示“正面向上”发生的可能性到大小。

从随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数可以刻画随机事件发生的可能性的大小这一事实出发,教科书引出了概率的定义:一般地,在大量重复实验中,如果事件

发生的频率

会稳定在某个常数

附近,那么这个常数

就叫做事件

发生的概率,记为

。则根据概率的定义可知,当

是不可能发生的事件时,

;当

是必然发生的事件时,

;当

是随机事件时

;概率的值越大则事件发生的可能性就越大。

从概率定义可知,概率是通过大量重复实验中频率的稳定性得到的一个0~1的常数,它反映了事件发生的可能性的大小。需要注意,概率是针对大量重复实验而言的,大量重复实验反映的规律并非意味着在每一次实验中一定存在。从这个意义上说,即使某事件发生的概率非常大,但在一次实验中也有可能不发生;即使事件发生的概率非常小,但在一次实验中也可能发生。

25.2 用列举法求概率

在本节的开始,教科书设计了两个实验:抽签实验和掷骰子实验。通过这两个实验可以发现如下的规律:一般地,如果在一次实验中,共有

种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件

包含其中的

种结果,那么事件

发生的概率为

。事实上,这个规律也可以看作从另一角度出发给出的概率定义,即概率的古典定义。

根据概率的古典定义,我们采用列举的方法计算一些简单事件的概率。例1~3都是通过列举的方法得到在一次实验中所有可能的结果数

,以及所求事件包含的结果数

,即而计算出所求事件的概率。

例4与前三个例题有所不同,这个事件在实验时包含了两步,这就要求把两步可能的结果都列举出来,再利用古典定义来计算概率。例4的实验中每一步可能的结果只有两个,两步的所有可能结果也只有

4个。

与例4类似,例5的每次实验也是包含两步,但每一步可能产生的结果数却远较例4为多,有6个。这样,用例4那样简单的列举法就有些捉襟见肘了,这时教科书给出了一种比较方便的列举方法──列表法,这种方法适合在两步的实验中,每一步出现的结果较多的情况。采用这种方法可以一目了然地看出投掷两个骰子可能出现的所有结果为

个。

与例5相比,例6的难度有进一步的提高,所提问的两个事件都包含了3步,对于包含3步的实验,这是一个3维的问题,用例5中列表的方法来列举出所有可能的结果已经不可能。为此,教科书在例题中给出了一种新的列举方法──树形图法。树形图法是一种适应性比较广泛的方法,能够用列表法解决的问题当然也能用树形图方法来解决,应该说,这种方法是第三学段的学生在尚未掌握概率乘法的情况下,用处最广泛的方法。

25.3 利用频率估计概率

由25.1节的概率定义可知,在同样条件下,大量重复实验时,根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数可以估计这个事件发生的概率,教科书在第25.3节就结合具体情境研究了如何用频率估计概率。

问题1考查了某种幼数移植的成活率,幼树的成活率实际上就是一种概率。这个实际问题中的移植实验不属于各种结果可能性相等的类型,因而也就不能用25.2节中概率的古典定义去计算概率,只能用频率去估计。

在同样条件下,大量移植这种幼树并统计成活情况(制成统计表的形式),计算成活频率,随着移植棵数的增加,成活频率会越来越稳定于某个常数,这个常数就是这种幼树的移植成活率,在这个移植成活率问题中,事实上应用了“用样本估计总体”的统计思想。

问题1的目的比较单纯,而问题2则略显复杂:除了确定柑橘损坏的概率外,还要在去掉损坏柑橘后保证利润的前提下,确定柑橘的零售价格。这里一方面要应用“用样本估计总体”的统计思想以及用频率估计概率的思想计算出柑橘的损坏率,另一方面还要根据已知的损坏率为达到盈利的目的采取定价决策。

问题3指出,在解决某些实际的概率问题时,有时应用实际的考查对象有时是不方便的,这样就提出了模拟实验必要性与合理性。设置这个问题的目的不在于让学生获得最后的精确结果,而是让学生根据具体的问题情境设计合适的模拟实验策略。

最后,在本节中教科书还介绍了用计算器如何产生随机数,如何用计算器进行模拟实验。

25.4 课题学习 键盘上字母的排列规律

教材在最后一节安排了一个具有一定综合性和活动性的“课题学习”,这个“课题学习”选用了与学生生活联系密切的键盘上字母的排列规律问题。由于本章是《课程标准》“统计与概率”部分的最后一章,因此这个课题学习的综合性比前面三章统计中的课题学习更强。为了便于教学操作,教科书没有像以前那样要求学生进行收集数据、用统计表图整理和描述数据的整个统计过程,而是直接把需要的数据──字母使用频率以表格的形式直接提供给他们,仅要求他们根据频率,按从大到小地把键盘上的字母排列出来,最后估计每个字母出现的概率,从而解释为什么键盘上的字母为什么如此排列。

完成这个课题学习,要求学生综合运用本章及以前所学的统计与概率的知识和方法,通过经历从大到小地排列各字母使用频率的过程,感受概率在现实生活中的重要作用。在这个过程中,让学生进一步感受用样本估计总体的统计思想及概率的思想,进一步体验概率在进行决策时的重要作用。

(三)课程学习目标

本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点:

1.理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件,什么是随机事件;

2.在具体情境中了解概率的意义,体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型,理解概率的取值范围的意义,发展随机观念。能够运用列举法(包括列表、画树形图)计算简单事件发生的概率;

3.能够通过实验,获得事件发生的频率;知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值,理解频率与概率的区别与联系。通过实例进一步丰富对概率的认识,并能解决一些实际问题。了解进行模拟实验的必要性,能根据问题的实际背景设计合理的模拟实验。

二、本章编写特点

(一)注重随机观念的渗透

本章是第三学段“统计与概率”的最后一章,主要内容是理解随机观念及概率的思想方法。在现实世界中,有许多现象我们是可以事先预言其结果的,如下雨必有云;同性电荷相斥;在

中,若

,则

;因为

,所以

。以上事实的反面,下雨而无云;同性电荷相吸;

,而

等。这种在一定条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性事件(或现象)。确定性事件的特点是:当条件给定时,其结果可以事先确切地预言或推算。代数、几何都是研究这类现象的工具。

然而,在现实世界中还存在着许多现象,我们无法事先断定其结果。例如,向上抛出一枚硬币,落地时其结果是正面向上,还是背面向上?事先是无法准确断言的。又如新生儿的体重,在出生之前也无法准确断言是多少。某一路段,在一定时间段内有多少车辆通过,也是无法事先断定的。这类事件很多。它们的共同特点是:在相同的条件下,重复同一实验(或观察)时,会得到不同的结果,就一次或少数几次实验来看,其结果是不确定的、无规律的,但当大量重复实验(或观察)时,其结果就整体来说呈现出某种固有规律性。例如,将上述的抛硬币实验大量重复时,就可以发现正面朝上或反面朝上的次数总是大致相等的。通过大量统计新生婴儿的体重时,也会发现这些数字绝大多数集中在某一点附近,离开这点越远数字越少,呈现出一种确定的分布。这种大量重复实验(或观察)时所呈现出的集体规律性,称为统计规律。这类在个别实验中呈现出不确定性,而在大量重复实验中,又具有某种统计规律的现象,这就是随机事件。

随机事件在现实世界中是普遍存在的,教师应该努力培养学生的随机观念,并让学生知道,研究随机事件掌握其规律进而利用其规律是有实际意义的。概率论就是研究和揭示随机现象统计规律的数学工具。教师应举出大量事件,让学生判断,这些事件是确定性事件还是随机事件。教师应该注意,所举的事例一定要在学生的知识范围和生活经验之内,超出这个范围,对培养学生的随机观念是无益的。

(二)突出概率思想的内涵

在前两个学段,学生对事件发生的可能性的大小已经有了初步的认识,在本章,他们将学习一种用确定性的数学来研究不确定现象的模型──概率。对于随机事件及其概率的认识,学生需要一个较长时期的认知过程。学生对概率思想的理解和掌握会随着自身年龄的增长以及知识面和生活经验的延伸而发展。

我们知道,概率的获取有理论计算和实验估算两种,从这两个理解角度出发,可以给出不同的概率定义:一个是古典概型(理论计算),另一个是实验概率(用频率估计)。本章的定义是从第二个角度给出的。对于随机事件概率的计算,有些用理论计算比较方便,比如说本章25.2节“用列举法求概率”中的概率,事实上采用的就是理论计算。还有一些事件的概率无法用理论计算来解决,就只能通过概率实验,用频率来估算。比如25.3节“利用频率估计概率”中的概率估算。还有一类事件的概率,比如投硬币或投骰子某一面朝上,既可以用理论来计算也可以用频率来估算,从理论上说,硬币两个面是是对称的,两个面分别朝上的可能性是相等的,所以两个面朝上的概率都为0.5,通过大量的重复试验也可以估算出硬币正面朝上的概率为0.5;投骰子的道理相同。应该让学生们理解,在遇到任何计算概率的问题时,如果能够用理论来计算首先就应该采用理论计算的方式,这样的计算是概率的精确值,用频率估计概率通常会出现误差,当然这样的误差是正常的。

注意让学生理解概率的内涵,概率是针对大量重复实验而言的,大量重复实验反映的规律并非意味着在每一次实验中一定存在。从这个意义上说,即使某一事件发生的概率非常大,但在一次实验中也有可能不发生;即使一事件发生的概率非常小,但在一次实验中也可能发生,比如买奖券中奖。

(三)深刻领会概率概念中蕴涵的辨证思想

人们在长期的实践中发现,在随机现象大量重复中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同(具有偶然性),但大量重复测得结果的平均值却几乎必然地稳定于某一定数。这个规律称为大数法则,亦称大数定律,是证明大量随机现象统计规律的一组定理的总称。在理解概率的定义时,有一点必须注意:即使某事件发生的概率是

,也并不意味

次随机实验,事件必然会发生1次,尽管概率值本身是精确的。这个事实说明:必然性与偶然性(即随机性)是对立统一的概念,偶然性蕴涵内在必然的规律;反过来被断定为必然的东西,是由纯粹的偶然性构成的。

三、几个值得关注的问题

(一)注意揭示概率与频率的联系与区别

初学统计与概率的学生常常无法理解概率与频率的内在联系与区别,有时会把两者相混淆。教师应该向学生指明,从数学角度来说,统计与概率这两个学科是互为依托,相互作用的。概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性基础之上的,而统计也离不开概率的理论支撑。相同条件下,一个事件发生的概率是一个常数,是由事件固有的属性决定的,但是如果用概率实验的方法,频率会随着样本空间的变化而变化,但随着样本的增加,频率会越来越集中于一个常数,这个数就是概率。所以用频率估计出来的概率通常是不精确的,要有误差。这就是所说的“实验概率稳定于理论概率而又不等于理论概率”。

(二)鼓励学生动手实验,注意现代信息技术的应用

为了首先让学生通过具体的实验操作获得一定的活动经验,促进对概率意义的理解与掌握,教科书在25.1.2节给出概率定义之前,设置了一个投掷硬币的实验,为学生提供一个体验概率实验的机会。由于在这个实验中需要获得的投掷次数相对较多,所以这里就需要发动全体学生积极参与,动手实验,靠集体的力量快速地获得实验频率,圆满地完成实验。

在学习用频率估计概率这部分内容时,一方面要鼓励学生亲自动手,集体合作,这主要是针对一些比较简单的实验,比如说投币实验,投图钉实验以及像阅读与理解短文中的布丰投针实验等。另一方面也鼓励学生采用模拟方法进行实验,特别是利用计算机或计算器进行模拟实验。我们知道,为了使用频率估计的概率尽可能地准确就需要进行大量的重复实验,这样的实验是极其费时费力的,所以应该鼓励学生使用现代信息技术,比如教科书就给出了用计算器产生随机数的例子。在学生掌握模拟实验时,重要的不是获得最终的结果,而是针对一个现实问题,让学生提出一种切实可行的进行模拟实验的策略,教科书25.3节的问题3就是这样。

(三)注意把握好教学难度

必须注意的是,本学段的概率内容还处在一个比较初级的水平,就《课程标准》来看,这个阶段的学生并没有学习概率中的乘法,所以他们还只能用列表法和树形图法计算一些简单的概率问题。因此,如果问题超过3步的难度,学生完成起来就会非常吃力。所以一般来说,教学中不益将问题的难度超过3步

(四)注意选取丰富、科学且真实的素材,充分体现概率与生活的密切联系

概率与现实生活的联系越来越紧密,这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的,本套教科书编写时特别注意将概率的学习与实际问题紧密结合,选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子,在解决这些实际问题的过程中学习计算概率的方法,掌握概率的概念、理解概率的意义,本章亦是如此。例如,在第25.1节中,教科书借助于“抽签问题”和“掷骰子问题”引出随机事件的概念;用“摸球问题”来引出事件发生的可能性的大小;用“投币实验”引出概率的统计学定义;又如25.2节中的例3,这是一个“扫雷游戏题”,相信使用过电脑的学生对其一定不会陌生,当然,没有用过电脑的学生在阅读本题的背景后,对本题也一定会很感兴趣的。再如,在第20.3节中,教科书选择了一个与学生生活密切联系的“键盘上字母的排列规律”作为“课题学习”,使学生综合运用本章知识和方法来体会概率在现实中的应用。因此,教学时要注意联系实际问题,可以和学生一起挖掘身边的素材进行教学,使学生在解决实际问题的过程中,体会随机的思想,培养概率思维,同时也使学生感受到概率与实际生活的密切联系,体会概率在采取决策解决现实问题中的作用,调动学生学习统计概率知识的积极性。

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